사다리타기의 원리
사다리타기는 가로선을 만날 때마다 옆줄로 옮겨 가며 결과를 짝짓는 놀이입니다. 이 글은 두 사람이 같은 결과에 닿지 않는 이유를 그림과 표로 설명하고 종이로 공정하게 그리는 절차를 안내합니다.
사다리타기는 어떻게 진행되나
사다리타기는 위쪽에 서로 다른 사람이나 선택지를 늘어놓고, 아래쪽에 결과를 늘어놓은 뒤 세로줄을 따라 내려가며 짝을 정하는 놀이입니다. 세로줄을 따라 내려가다가 가로선을 만나면 반드시 그 가로선을 건너 옆줄로 옮기고, 다시 아래로 내려갑니다. 맨 아래에 닿은 자리가 그 사람의 결과입니다.
보통은 결과를 가린 채 가로선을 그은 다음 한 사람씩 출발합니다. 가로선이 보이는 상태에서 결과만 가리면 누구나 자기 경로를 미리 따라가 볼 수 있으므로, 가로선을 모두 그은 뒤에 아래쪽을 접어서 가리는 방식을 많이 씁니다.
왜 두 사람이 같은 결과에 도착하지 않을까
사다리의 핵심 성질은 위의 자리와 아래의 자리가 정확히 하나씩 짝지어진다는 점입니다. 이유는 가로선 하나가 하는 일을 따져 보면 알 수 있습니다. 같은 높이에서 이웃한 두 세로줄을 잇는 가로선은 그 높이에서 두 줄을 내려오던 두 사람의 위치를 서로 바꾸어 놓을 뿐입니다. 한 사람이 사라지거나 두 사람이 한 줄에 겹치는 일은 일어나지 않습니다.
그림은 세로줄 네 개와 가로선 세 개로 된 사다리입니다. 맨 위에 A, B, C, D가 서 있고, 점선은 A가 내려가는 길입니다. 가로선은 위에서부터 첫째와 둘째 줄 사이, 셋째와 넷째 줄 사이, 둘째와 셋째 줄 사이에 있습니다.
| 단계 | 맞바꾸는 두 줄 | 왼쪽부터의 순서 |
|---|---|---|
| 출발 | - | A B C D |
| 첫째 가로선 | 첫째와 둘째 | B A C D |
| 둘째 가로선 | 셋째와 넷째 | B A D C |
| 셋째 가로선 | 둘째와 셋째 | B D A C |
매 단계에서 네 사람이 모두 한 줄에 한 명씩 남아 있으므로 마지막 순서도 네 사람의 재배열입니다. 가로선이 몇 개든, 어떻게 놓였든 같은 논리가 반복되므로 모든 사람이 서로 다른 결과에 도착합니다. 그래서 사다리는 서로 다른 결과를 겹치지 않게 나누어 줄 때 쓸 수 있습니다.
이 설명은 같은 높이에서 이웃한 가로선이 서로 닿지 않는다는 전제를 둡니다. 이 사이트의 사다리는 가로선을 만들 때 좌우나 바로 위에 이미 가로선이 있는 자리를 피하도록 되어 있어 이 전제를 지킵니다.
가로선의 개수와 결과의 짝
수학에서는 이 현상을 순열이라고 부릅니다. 일본어판 위키백과의 「あみだくじ」 항목은 사다리로 만든 재배열이 순열에 해당하고, 가로선이 짝수 개이면 짝수 순열만, 홀수 개이면 홀수 순열만 나온다고 설명합니다(참고 자료 1). 쉬운 말로 풀어 보면 가로선 하나는 이웃한 둘의 자리를 한 번 바꾸는 일이므로, 가로선이 홀수 개이면 모든 사람이 제 줄 바로 아래에 도착하는 결과는 나올 수 없다는 뜻입니다.
두 사람의 사다리로 확인해 보세요. 가로선이 하나이면 두 사람은 반드시 서로 엇갈리고, 둘이면 다시 제자리로 돌아옵니다. 참가자가 두 명인 사다리에서 결과가 엇갈릴지 아닐지는 가로선 개수의 홀짝만으로 결정됩니다.
가로선을 더하면 무엇이 바뀔까
가로선이 늘어난다고 해서 서로 다른 결과를 받는다는 성질이 바뀌지는 않습니다. 바뀌는 것은 어느 출발점에서 어느 도착점으로 가기 쉬운지의 분포입니다. 가로선이 적으면 대부분의 사람이 자기 줄 근처로 내려오고, 가로선이 많아지면 멀리 떨어진 결과까지 오갈 수 있습니다.
사이트의 사다리는 가로선 밀도를 적음, 보통, 많음 중에서 고를 수 있습니다. 밀도에 따라 각 도착 자리에 닿을 확률이 어떻게 달라지는지는 숫자와 함께 사다리타기는 공정할까에서 따로 다룹니다. 이 글에서는 구조를 설명하는 데 집중합니다.
이름과 역사에 대해
일본에서는 사다리타기와 비슷한 놀이를 아미다쿠지(あみだくじ)라고 부릅니다. 일본어판 위키백과는 이 놀이가 무로마치 시대부터 있었다고 하며, 처음에는 지금의 사다리 모양이 아니라 한가운데에서 바깥쪽으로 사람 수만큼 선을 방사형으로 그은 형태였다고 설명합니다. 그 선의 모습이 아미타여래의 후광을 닮았다는 데서 이름이 붙었다고 전해진다는 설명도 있습니다. 같은 항목에는 처음에 각자 낸 돈으로 다과를 사서 고르게 나누는 데 쓰였다는 설명도 있습니다(참고 자료 1).
이 설명은 백과사전식 보조 자료에 실린 것이라 이 글에서는 확정된 역사로 다루지 않습니다. 또한 이 놀이가 한국에 언제 어떤 경로로 들어왔는지, 한국에서 사다리타기라는 이름이 언제부터 쓰였는지는 신뢰할 만한 자료를 열어 확인하지 못했으므로 쓰지 않습니다.
종이로 공정하게 사다리를 그리는 법
종이 사다리의 공정성은 누가 가로선을 긋는지에 크게 달려 있습니다. 한 사람이 혼자 가로선을 그으면 특정 사람에게 특정 결과가 가도록 설계할 수 있기 때문입니다. 다음 절차를 따르면 이런 의심을 줄일 수 있습니다.
- 종이 위쪽에 참가자 이름을, 아래쪽에 결과를 적습니다. 결과 줄은 접어서 가리거나 다른 종이로 덮어 아무도 읽지 못하게 합니다.
- 세로줄을 참가자 수만큼 긋습니다. 결과 줄을 가린 채 여러 사람이 돌아가며 가로선을 한 개씩 긋습니다. 같은 높이에서 이웃한 줄을 잇는 가로선이 연달아 닿지 않도록 높이를 어긋나게 합니다.
- 모두가 만족할 만큼 가로선이 생기면 그리기를 멈춥니다. 그 뒤로는 가로선을 지우거나 더하지 않는다고 미리 약속합니다.
- 각자 자기 줄에서 출발해 손가락이나 색연필로 길을 따라갑니다. 서로 다른 색을 쓰면 다른 사람의 경로를 가로채는 실수를 막을 수 있습니다.
- 모두 내려오면 결과 줄을 펼칩니다. 두 사람이 같은 결과에 도착했다면 어딘가에서 줄을 잘못 건넌 것이므로 위 설명에 따라 경로를 다시 확인합니다.
이름 대신 번호를 쓰고 결과 칸만 다르게 하는 변형도 있습니다. 순서 정하기라면 결과 칸에 1번부터 마지막 번호까지 적고, 역할 나누기라면 역할 이름을 적습니다.
이 사이트의 사다리
사이트의 사다리 게임은 2명에서 10명까지의 참가자와 같은 수의 결과를 설정하고 가로선 밀도를 고르면 가로선을 자동으로 만들어 줍니다. 가로선은 이웃한 두 줄 사이에서만 만들어지고, 좌우나 바로 위에 이미 가로선이 있는 자리는 피합니다. 그래서 앞에서 설명한 맞바꿈 논리가 그대로 성립하며 서로 다른 결과를 받습니다.
사다리를 새로 만들면 연결이 모두 새로 정해지고, 가림막이나 이동 속도를 바꾸어도 연결 결과는 바뀌지 않습니다. 종이에서와 마찬가지로 결과를 가린 채 시작하는 것이 공정한 진행의 기본입니다.
확인하지 못해 다루지 않은 내용
한국에서의 도입 시기와 경로, 한국어 이름의 유래, 일본 외 다른 나라의 사례는 열어 확인한 자료가 없어서 다루지 않았습니다. 일본어판 위키백과의 내용도 보조 자료로만 인용했습니다.
참고한 자료
- 「あみだくじ」 · 위키백과(일본어판, 보조 자료) · https://ja.wikipedia.org/wiki/あみだくじ · 확인일 2026-10-20